【A-Level】级数知识点总结及真题解析


目录

  1. 知识点总结
  2. 近10年真题解析

1.知识点总结

1.1 级数的定义

级数是指将数列的项依次相加所得到的和。形式上,级数可以表示为:

1.2 等差数列与等比数列

  • 等差数列:每一项与前一项的差为常数 $ d $。

    • 通项公式:$ a_n = a_1 + (n-1)d $
    • 前 $ n $ 项和公式:$ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $
  • 等比数列:每一项与前一项的比为常数 $ r $。

    • 通项公式:$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
    • 前 $ n $ 项和公式:
      • 当 $ r \neq 1 $ 时:$ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} $
      • 当 $ r = 1 $ 时:$ S_n = n a_1 $
    • 无穷等比数列求和公式(当 $ |r| < 1 $ 时):$ S = \frac{a_1}{1 - r} $

1.3 级数的求和公式

  • 等差数列求和
  • 等比数列求和
  • 无穷等比数列求和

1.4 级数的应用

  • 金融数学:计算复利、年金等。
  • 实际问题:如计算累积增长、衰减等问题。

2.近10年真题解析

2.1 2013年真题

题目:求等差数列 $ 3, 7, 11, 15, \dots $ 的前 10 项和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 3 $,公差 $ d = 4 $。
  • 前 10 项和公式:

2.2 2014年真题

题目:求等比数列 $ 2, 6, 18, 54, \dots $ 的前 5 项和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 2 $,公比 $ r = 3 $。
  • 前 5 项和公式:

2.3 2015年真题

题目:求无穷等比数列 $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots $ 的和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 1 $,公比 $ r = \frac{1}{2} $(满足 $ |r| < 1 $)。
  • 无穷等比数列求和公式:

2.4 2016年真题

题目:求等差数列 $ 5, 9, 13, 17, \dots $ 的第 15 项。

解答

  • 首项 $ a_1 = 5 $,公差 $ d = 4 $。
  • 通项公式:

2.5 2017年真题

题目:求等比数列 $ 3, 6, 12, 24, \dots $ 的第 8 项。

解答

  • 首项 $ a_1 = 3 $,公比 $ r = 2 $。
  • 通项公式:

2.6 2018年真题

题目:求等差数列 $ 10, 7, 4, 1, \dots $ 的前 20 项和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 10 $,公差 $ d = -3 $。
  • 前 20 项和公式:

2.7 2019年真题

题目:求等比数列 $ 4, 12, 36, 108, \dots $ 的前 6 项和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 4 $,公比 $ r = 3 $。
  • 前 6 项和公式:

2.8 2020年真题

题目:求无穷等比数列 $ 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \dots $ 的和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 9 $,公比 $ r = \frac{1}{3} $(满足 $ |r| < 1 $)。
  • 无穷等比数列求和公式:

2.9 2021年真题

题目:求等差数列 $ 2, 5, 8, 11, \dots $ 的第 12 项。

解答

  • 首项 $ a_1 = 2 $,公差 $ d = 3 $。
  • 通项公式:

2.10 2022年真题

题目:求等比数列 $ 5, 10, 20, 40, \dots $ 的前 7 项和。

解答

  • 首项 $ a_1 = 5 $,公比 $ r = 2 $。
  • 前 7 项和公式:

以上是 A-Level 数学 P1 级数章节的知识点总结与近 10 年真题解析。


文章作者: Kezade
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