一、学习目标
学完本章后，你应该能够：
- 理解 正割（secant）、余割（cosecant） 和 余切（cotangent） 的定义及其与余弦、正弦、正切的关系
- 掌握 sec、cosec、cot 的图像、定义域和值域
- 化简包含 sec、cosec、cot 的表达式，证明恒等式并解方程
- 证明并运用 $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$
- 理解并运用反三角函数（arcsin, arccos, arctan）及其定义域和值域
二、知识点精讲
2.1 三个新三角函数的定义
| 函数 | 定义 | 等价形式 | 无定义点 |
|---|---|---|---|
| 正割 $\sec x$ | $\frac{1}{\cos x}$ | — | $\cos x = 0$，即 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ |
| 余割 $\csc x$（或 $\text{cosec } x$） | $\frac{1}{\sin x}$ | — | $\sin x = 0$，即 $x = k\pi$ |
| 余切 $\cot x$ | $\frac{1}{\tan x}$ | $\frac{\cos x}{\sin x}$ | $\sin x = 0$（因为此时分母为零） |
⚠️ 常见混淆： $\sec x$ 是 $\cos x$ 的倒数，$\csc x$ 是 $\sin x$ 的倒数，不是反函数！反函数是 $\arccos$ 和 $\arcsin$。
2.2 图像、周期与渐近线
| 函数 | 周期 | 渐近线（竖直） | 值域 |
|---|---|---|---|
| $y = \sec x$ | $2\pi$ | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ |
| $y = \csc x$ | $2\pi$ | $x = k\pi$ | ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ |
| $y = \cot x$ | $\pi$（短一倍！） | $x = k\pi$ | $\mathbb{R}$（全体实数） |
💡 画图要领（$\sec x$ 为例）：
先画 $y = \cos x$，在每个波峰/波谷处取倒数（$1 \to 1$，$-1 \to -1$），在 $\cos x = 0$ 处趋向无穷大，形成“U”形和倒“U”形交替出现。
📌 例1（图像与值域）： 求 $y = 2 - 3\sec x$ 的定义域和值域。
解：
定义域：$\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$。
值域：$\sec x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$。
乘以 $-3$ 得：$-3\sec x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$。
再加 $2$ 得：
2.3 核心恒等式（由 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 推导）
两边同除以 $\cos^2 x$（$\cos x \neq 0$）：
两边同除以 $\sin^2 x$（$\sin x \neq 0$）：
💡 记忆技巧：
- $\sin^2 + \cos^2 = 1$（正弦、余弦）
- $\tan^2 + 1 = \sec^2$（正切、正割）
- $1 + \cot^2 = \csc^2$（余切、余割）
2.4 解方程与恒等式证明
2.4.1 解方程策略
📌 例2（考试典型）： 在区间 $0^\circ < \theta < 180^\circ$ 中解 $\cos \theta = 2\cot \theta$。
解：
将 $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ 代入：
切记不要直接约去 $\cos\theta$！ 应移项提取公因式：
因此：
- $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ$（在区间内）
- $1 - \frac{2}{\sin \theta} = 0 \Rightarrow \sin \theta = 2$，无解（因 $\sin \theta \leq 1$）
答案： $\theta = 90^\circ$
2.4.2 恒等式证明
📌 例3 证明恒等式：
证明：
分子利用平方差公式：
由核心恒等式 $1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，可知 $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$。
因此左边变为：
再利用 $1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$，得到：
故 左边 ≡ 右边，恒等式成立。✅
2.4.3 活用“倒数关系”求值
📌 例4（Edexcel 经典题型）： 已知 $\sec x + \tan x = -3$，利用恒等式求 $\sec x - \tan x$ 的值，并进一步求 $\sec x$ 和 $\tan x$。
解：
由 $1+\tan^2 x = \sec^2 x$ 得：
因式分解：
代入 $\sec x + \tan x = -3$：
联立方程组：
两式相加：$2\sec x = -\frac{10}{3} \Rightarrow \sec x = -\frac{5}{3}$
两式相减：$2\tan x = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3} \Rightarrow \tan x = -\frac{4}{3}$
答案： $\sec x - \tan x = -\frac{1}{3}$，$\sec x = -\frac{5}{3}$，$\tan x = -\frac{4}{3}$
2.5 反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）
2.5.1 记法与主值区间
| 函数 | 记法 | 定义域 | 值域（主值） |
|---|---|---|---|
| 反正弦 | $\arcsin x$ 或 $\sin^{-1} x$ | $-1 \leq x \leq 1$ | $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ |
| 反余弦 | $\arccos x$ 或 $\cos^{-1} x$ | $-1 \leq x \leq 1$ | $0 \leq y \leq \pi$ |
| 反正切 | $\arctan x$ 或 $\tan^{-1} x$ | $x \in \mathbb{R}$ | $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ |
⚠️ 注意符号： $\sin^{-1} x$ 是反函数，不是 $\frac{1}{\sin x}$（倒数应是 $\csc x$）！
2.5.2 重要关系式
对于任意 $x \in [-1, 1]$，有：
证明提示： 因为 $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$，令 $\theta = \arcsin x$ 即可。
📌 例5： 求 $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ 的值（以 $\pi$ 表示）。
解：
$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$，$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$。
差为：
📌 例6： 已知 $\arctan(x-2) = -\frac{\pi}{3}$，求 $x$。
解：
两边取正切：$x-2 = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$，所以：
2.5.3 反函数图像的变换
反函数的图像是原函数在主值区间上关于直线 $y=x$ 的对称图形。
📌 例7（作图题）： 画出 $y = 3\arcsin x - \frac{\pi}{2}$ 的图像，标出端点坐标及与 $x$ 轴的交点。
解：
- 定义域：$[-1, 1]$（继承自 $\arcsin x$）
- 值域：$\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，乘以 3 得 $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$，再减 $\frac{\pi}{2}$ 得 $[-2\pi, \pi]$
端点坐标：
- 当 $x=-1$ 时，$y = 3(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = -2\pi$ → ((-1, -2\pi)$
- 当 $x=1$ 时，$y = 3(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = \pi$ → ((1, \pi)$
与 $x$ 轴交点：
令 $y=0$：$3\arcsin x - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow \arcsin x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
交点坐标为 ((\frac{1}{2}, 0)$。
三、课堂练习（共 4 题，含详细思路）
解方程 $\tan x = 2\cot x$，在 $-180^\circ \leq x \leq 90^\circ$ 内。
（提示：两边同乘 $\tan x$，注意 $\tan x \neq 0$）已知 $\sec \theta = k$（$|k| \geq 1$），且 $\theta$ 为钝角，用 $k$ 表示 $\cos \theta$、$\tan^2 \theta$ 和 $\cot \theta$。
证明恒等式：$\frac{1}{\cos \theta - 1} + \frac{1}{\cos \theta + 1} \equiv -2\sec \theta \tan \theta$。
（提示：左边通分，分母为 $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$）解方程 $\sec^2 x - \frac{2\sqrt{3}}{3}\tan x - 2 = 0$，在 $0 \leq x \leq 2\pi$ 内，答案用 $\pi$ 表示。
（提示：将 $\sec^2 x$ 换成 $1+\tan^2 x$，转化为关于 $\tan x$ 的二次方程）
四、课后作业（精选 10 题，覆盖所有题型）
以下题目均选自官方章节复习题，并按考试分值标注。
1. 基础定义与互化（4分）
已知 $p = 2\sec \theta$，$q = 4\cos \theta$，用 $q$ 表示 $p$。
2. 恒等式证明（4分）
已知 $p = \sin \theta$，$q = 4\cot \theta$，求证 $p^2 q^2 = 16(1-p^2)$。
3. 解三角方程 I（4分）
解 $\tan x = 2 \cot x$，在区间 $-180^\circ \leq x \leq 90^\circ$ 内。
4. 解三角方程 II（4分）
在 $0^\circ < \theta < 180^\circ$ 中解：
i. $\cos \theta = 2\cot \theta$
ii. $2\cot^2 \theta = 7\cos \theta - 8$
5. 解含平移的三角方程（5分）
解方程 $\sec(x + \frac{\pi}{4}) = 2$，在 $0 \leq x \leq 2\pi$ 内，答案用 $\pi$ 表示。
6. 反三角函数求值（4分）
求 $\arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(-\frac{1}{2})$ 的值，以 $\pi$ 表示。
7. 二次型三角方程（5分）
解方程 $\sec^2 x - \frac{2\sqrt{3}}{3}\tan x - 2 = 0$，在 $0 \leq x \leq 2\pi$ 内，答案用 $\pi$ 表示。
8. 反函数求值（3分）
已知 $\arctan(x-2) = -\frac{\pi}{3}$，求 $x$ 的值。
9. 倒数关系综合题（3+3分）
a. 已知 $\sec x + \tan x = -3$，利用恒等式求 $\sec x - \tan x$ 的值。
b. 由此解出 $\sec x$ 和 $\tan x$ 的值。
10. 图像与值域（2分）
已知 $y = 2 - 3\sec x$，写出该函数的定义域和值域。
