AP PreCalculus 第14课完整讲义：三角恒等式、极坐标与极坐标函数

（适配2025 College Board考纲，含教学流程、例题、真题、练习全解析）

一、课程基本信息

项目	详情
课时	2小时（120分钟）
所属单元	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions
对应考纲章节	3.11（三角恒等式）、3.12（极坐标基础）、3.13（极坐标与直角坐标转换）、3.14（极坐标函数）、3.15（极坐标图像识别）
前置知识	单位圆三角函数定义、诱导公式、三角函数图像性质、勾股定理
教学目标	1. 掌握核心三角恒等式（倒数、商数、平方），能熟练化简和证明三角函数表达式 2. 理解极坐标的定义与表示方法，熟练进行极坐标与直角坐标的双向转换 3. 识别常见极坐标函数（圆、玫瑰线、心形线）的图像特征 4. 能根据极坐标方程绘制简单图像，或根据图像推导极坐标方程
教学重难点	重点：三角恒等式应用、极坐标与直角坐标转换、常见极坐标图像识别难点：三角恒等式证明的逻辑推导、极坐标方程与图像的互化、多值对应关系处理

二、教学流程（120分钟）

1. 导入环节（10分钟）

情境引入：展示卫星轨道的极坐标示意图、玫瑰线艺术图案、三角恒等式化简实例，提问：“导航系统中为什么用极坐标描述位置更方便？如何用简洁的公式化简复杂的三角函数表达式？玫瑰线的极坐标方程有什么规律？”
知识衔接：回顾上节课三角方程求解中用到的勾股恒等式（$\sin^2x+\cos^2x=1$），关联单位圆中三角函数的比值关系，引出更多三角恒等式；对比直角坐标系的“x-y定位”，提出极坐标“距离-角度定位”的优势，自然过渡到极坐标知识点。
考纲提示：本课时内容占AP PreCalculus考试的12%-14%，三角恒等式化简、极坐标转换是选择题高频考点，极坐标图像识别常结合建模考查，是衔接大学数学的重要基础。

2. 核心知识点讲解（60分钟）

模块1：三角恒等式（20分钟）

关键术语：三角恒等式（Trigonometric Identities）、倒数恒等式（Reciprocal Identities）、商数恒等式（Quotient Identities）、平方恒等式（Pythagorean Identities）

核心恒等式分类（必考）：
1. 倒数恒等式（互为倒数关系）：
  - $\sec x = \frac{1}{\cos x}$（正割函数）
  - $\csc x = \frac{1}{\sin x}$（余割函数）
  - $\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$（余切函数）
2. 商数恒等式（比值关系）：
  - $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
  - $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
3. 平方恒等式（由勾股定理推导，核心）：
  - $\sin^2x + \cos^2x = 1$（基础）
  - $1 + \tan^2x = \sec^2x$（两边除以$\cos^2x$）
  - $1 + \cot^2x = \csc^2x$（两边除以$\sin^2x$）
恒等式应用（化简与证明）：
- 化简原则：“切化弦”“统一角”“消去公因式”，优先使用基础恒等式。
- 例题1：化简$\frac{\sin x \cdot \sec x}{\tan x}$
  解析：
  - 切化弦+倒数转换：$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$；
  - 代入得：$\frac{\sin x \cdot \frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = 1$；
  - 答案：$1$。
- 例题2：证明$\sin^2x - \cos^2x = 2\sin^2x - 1$
  解析：
  - 左边：$\sin^2x - \cos^2x$；
  - 利用$\cos^2x = 1 - \sin^2x$代入：$\sin^2x - (1 - \sin^2x) = 2\sin^2x - 1$；
  - 左边=右边，证明成立。

模块2：极坐标基础与转换（25分钟）

关键术语：极坐标（Polar Coordinates）、极点（Pole）、极轴（Polar Axis）、极径（Polar Radius）、极角（Polar Angle）

极坐标定义：
- 极点：坐标原点$O$；
- 极轴：与直角坐标系x轴正半轴重合的射线；
- 极坐标表示：点$P$的极坐标为$(r, \theta)$，其中$r$为极径（点到极点的距离，$r$可正可负），$\theta$为极角（极轴到射线$OP$的角度，逆时针为正）。
极坐标与直角坐标双向转换公式（核心考点）：
1. 极坐标转直角坐标（$(r, \theta) \to (x, y)$）：
  - $\boldsymbol{x = r\cos\theta}$
  - $\boldsymbol{y = r\sin\theta}$
2. 直角坐标转极坐标（$(x, y) \to (r, \theta)$）：
  - $\boldsymbol{r = \sqrt{x^2 + y^2}}$（$r$默认非负，特殊情况可取负）
  - $\boldsymbol{\tan\theta = \frac{y}{x}}$（$\theta$需结合点所在象限确定）
转换例题：
- 例题3：将极坐标$(2, \frac{\pi}{3})$转换为直角坐标
  解析：
  - $x = 2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$；
  - $y = 2\sin\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$；
  - 直角坐标：$(1, \sqrt{3})$。
- 例题4：将直角坐标$(-\sqrt{3}, 1)$转换为极坐标（$r>0$，$\theta \in [0, 2\pi)$）
  解析：
  - $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$；
  - $\tan\theta = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$，点在第二象限，故$\theta = \frac{5\pi}{6}$；
  - 极坐标：$(2, \frac{5\pi}{6})$。

模块3：极坐标函数与图像（15分钟）

关键术语：极坐标函数（Polar Function）、圆（Circle）、玫瑰线（Rose Curve）、心形线（Cardioid）

常见极坐标函数及图像特征：

极坐标方程	图像类型	核心特征
$r = a$（$a>0$）	圆	圆心在极点，半径为$a$
$r = a\cos\theta$（$a>0$）	圆	圆心在$(\frac{a}{2}, 0)$（直角坐标），半径$\frac{a}{2}$，与极轴相切于极点
$r = a\sin\theta$（$a>0$）	圆	圆心在$(0, \frac{a}{2})$（直角坐标），半径$\frac{a}{2}$，与极轴垂直相切于极点
$r = a\cos(n\theta)$（$a>0$，$n$为正整数）	玫瑰线	$n$为奇数：$n$瓣；$n$为偶数：$2n$瓣
$r = a(1 + \cos\theta)$（$a>0$）	心形线	开口向右，顶点在$(2a, 0)$（极坐标），过极点

图像绘制技巧：
- 取特殊角$\theta = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \dots, 2\pi$，计算对应$r$值，描点连线；
- 利用对称性（如$r = a\cos\theta$关于极轴对称）简化绘制。
例题5：简述极坐标方程$r = 3\sin(2\theta)$的图像特征
解析：
- 类型：玫瑰线；
- 瓣数：$n=2$（偶数），故4瓣；
- 范围：$r \in [-3, 3]$，最大距离极点3个单位；
- 对称性：关于极轴、极点、垂直极轴的直线均对称。

3. 真题实战与易错点剖析（30分钟）

近5年真题解析（每题6分钟，含思路梳理+评分点）

1. 2025年真题 Q26（选择题）

题目：Which of the following is equivalent to $\sin^2x + \cos^2x + \tan^2x$?
A. $\sec^2x$
B. $\csc^2x$
C. $\cot^2x$
D. $\tan^2x$
解析：

考点：平方恒等式应用（核心评分点）
步骤：① 利用基础恒等式$\sin^2x + \cos^2x = 1$；② 代入得$1 + \tan^2x$；③ 由平方恒等式$1 + \tan^2x = \sec^2x$；
答案：A（评分点：应用两个平方恒等式各1分）

2. 2024年真题 Q30（选择题）

题目：Convert the polar coordinate $(4, \frac{3\pi}{4})$ to rectangular coordinates.
A. $(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$
B. $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$
C. $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$
D. $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$
解析：

考点：极坐标转直角坐标（核心评分点）
步骤：① $x = 4\cos\frac{3\pi}{4} = 4 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$；② $y = 4\sin\frac{3\pi}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$；
答案：A（评分点：三角函数值计算1分，转换公式应用1分）

3. 2023年真题 Q35（解答题）

题目：Convert the rectangular coordinate $(-1, \sqrt{3})$ to polar coordinates with $r>0$ and $\theta \in [0, 2\pi)$.
解析：

考点：直角坐标转极坐标（核心评分点）
步骤：① 计算$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$；② 计算$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$，点在第二象限，故$\theta = \frac{2\pi}{3}$；
答案：$(2, \frac{2\pi}{3})$（评分点：$r$计算1分，$\theta$计算1分，象限判断1分）

4. 2022年真题 Q23（选择题）

题目：Which polar equation represents a circle with center at $(1, 0)$ in rectangular coordinates?
A. $r = 2\cos\theta$
B. $r = 2\sin\theta$
C. $r = \cos\theta$
D. $r = \sin\theta$
解析：

考点：极坐标方程与直角坐标圆的对应（核心评分点）
步骤：① 圆心$(1, 0)$、半径1的直角坐标方程：$(x-1)^2 + y^2 = 1$，展开得$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$；② 利用$x^2 + y^2 = r^2$、$x = r\cos\theta$代入，得$r^2 - 2r\cos\theta = 0$，化简为$r = 2\cos\theta$；
答案：A（评分点：直角坐标方程推导1分，转换代入1分）

5. 2021年真题 Q37（选择题）

题目：Which of the following is the graph of $r = 2(1 - \cos\theta)$?
A. A cardioid opening to the left
B. A cardioid opening to the right
C. A rose curve with 2 petals
D. A circle with radius 1
解析：

考点：极坐标函数图像识别（核心评分点）
步骤：① 方程形式为$r = a(1 - \cos\theta)$，属于心形线；② 当$\theta = 0$时，$r = 2(1 - 1) = 0$；当$\theta = \pi$时，$r = 2(1 - (-1)) = 4$，故开口向左；
答案：A（评分点：图像类型识别1分，开口方向判断1分）

高频易错点及应对措施

易错点类型	具体错误表现	解决方案
三角恒等式应用错误	1. 混淆平方恒等式的变形（如误写$1 - \sin^2x = -\cos^2x$） 2. 化简时未统一角或函数名，导致逻辑混乱 3. 证明题缺乏步骤，直接等式替换	1. 核心恒等式默写：每天默写3组平方恒等式及变形，强化记忆 2. 化简口诀：“先切化弦，再用平方，最后消公因式” 3. 证明题步骤固化：“左边→中间过渡→右边”，每一步标注所用恒等式（如“由$\sin^2x+\cos^2x=1$得”） 4. 实例验证：化简后代入特殊角（如$x=\frac{\pi}{4}$）验证左右两边是否相等
极坐标转换错误	1. 直角转极坐标时，$\theta$未结合象限判断（如$\tan\theta=1$时，误写$\theta=\frac{\pi}{4}$忽略第二、四象限） 2. 极径$r$取负时，极角判断错误 3. 转换公式记忆混淆（如误写$x = r\sin\theta$）	1. 转换公式贴墙：“$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$”“$r=\sqrt{x^2+y^2}$，$\tan\theta=y/x$”，反复背诵 2. $\theta$判断步骤：① 计算$\tan\theta$的参考角；② 根据$(x,y)$所在象限确定$\theta$（第一象限：$\alpha$，第二：$\pi-\alpha$，第三：$\pi+\alpha$，第四：$2\pi-\alpha$） 3. $r$负值处理：$r \lt 0$时，极角=原角$+\pi$，再按正常流程转换 4. 双向验证：转换后回代公式，验证是否还原原坐标
极坐标图像识别错误	1. 混淆玫瑰线瓣数与$n$的关系（如$r=a\cos(2\theta)$误判为2瓣） 2. 心形线开口方向判断错误 3. 误将$r=a$与$r=a\cos\theta$的图像混淆	1. 图像特征表格：整理常见极坐标方程、图像类型、核心特征，每日翻看 2. 玫瑰线瓣数口诀：“$n$奇$n$瓣，$n$偶$2n$瓣” 3. 心形线开口判断：看方程中$\cos\theta$的符号，$1+\cos\theta$开口向右，$1-\cos\theta$开口向左；$\sin\theta$对应上下开口 4. 描点验证：遇到不确定的图像，取3-5个特殊角计算$r$，初步勾勒图像轮廓
恒等式证明逻辑错误	1. 证明时“循环论证”（用待证明的恒等式推导前提） 2. 步骤跳跃，关键恒等式应用未说明 3. 只化简一边，未证明两边相等	1. 禁止循环：证明前列出已知恒等式（教材明确给出的），仅用这些推导 2. 步骤标注：每一步变形都注明依据（如“倒数恒等式”“平方恒等式”“代数化简”） 3. 双向化简：复杂题目可同时化简左右两边，直至得到相同表达式

4. 课堂小结与公式梳理（10分钟）

核心公式清单（按考点分类）

三角恒等式：
- 倒数恒等式：$\boldsymbol{\sec x = \frac{1}{\cos x}}$，$\boldsymbol{\csc x = \frac{1}{\sin x}}$，$\boldsymbol{\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}}$；
- 商数恒等式：$\boldsymbol{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}$，$\boldsymbol{\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}$；
- 平方恒等式：$\boldsymbol{\sin^2x + \cos^2x = 1}$，$\boldsymbol{1 + \tan^2x = \sec^2x}$，$\boldsymbol{1 + \cot^2x = \csc^2x}$。
极坐标与直角坐标转换：
- 极→直：$\boldsymbol{x = r\cos\theta}$，$\boldsymbol{y = r\sin\theta}$；
- 直→极：$\boldsymbol{r = \sqrt{x^2 + y^2}}$，$\boldsymbol{\tan\theta = \frac{y}{x}}$（$\theta$结合象限确定）。
常见极坐标方程与图像：

方程	图像类型	关键特征
$\boldsymbol{r = a}$（$a>0$）	圆	圆心在极点，半径$a$
$\boldsymbol{r = a\cos\theta}$（$a>0$）	圆	圆心$(\frac{a}{2}, 0)$，半径$\frac{a}{2}$
$\boldsymbol{r = a\sin\theta}$（$a>0$）	圆	圆心$(0, \frac{a}{2})$，半径$\frac{a}{2}$
$\boldsymbol{r = a\cos(n\theta)}$（$a>0$）	玫瑰线	$n$奇$n$瓣，$n$偶$2n$瓣
$\boldsymbol{r = a(1 \pm \cos\theta)}$	心形线	$\pm\cos\theta$对应左右开口

学习建议

恒等式专项练：每天练3道化简题+1道证明题，强化“切化弦→平方恒等式→化简”的流程；
转换口算练：随机写10组极坐标/直角坐标，快速口算出转换结果，提升熟练度；
图像对照记：将常见极坐标方程与图像打印出来，对照记忆，重点关注特殊角对应的$r$值；
错题归类改：将“恒等式混淆”“转换象限错误”“图像识别错误”的题目分类，标注错误原因，每周复盘。

5. 课后作业（分层设计）

基础题（必做）

化简下列三角函数表达式：
- $\frac{\sec x \cdot \sin x}{\tan x}$
- $\sin^2x \cdot \sec^2x - \sin^2x$
完成下列坐标转换：
- 极坐标$(3, \frac{5\pi}{6}) \to $ 直角坐标
- 直角坐标$(-2, -2) \to $ 极坐标（$r>0$，$\theta \in [0, 2\pi)$）
识别下列极坐标方程的图像类型：
- $r = 4$
- $r = 2\sin(3\theta)$
- $r = 1 + \sin\theta$