AP PreCalculus 第12课完整讲义：正弦/余弦函数图像与正弦型函数变换

（适配2025 College Board考纲，含教学流程、例题、真题、练习全解析）

一、课程基本信息

项目	详情
课时	2小时（120分钟）
所属单元	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions
对应考纲章节	3.4（正弦/余弦函数基础图像）、3.5（正弦型函数参数解析）、3.6（三角函数图像变换）
前置知识	周期函数定义、单位圆三角函数定义、特殊角三角函数值、基本函数变换（平移/拉伸）
教学目标	1. 掌握正弦/余弦函数的基础图像与核心性质 2. 理解正弦型函数$y=A\sin(B(x-C))+D$（$y=A\cos(B(x-C))+D$）中参数$A,B,C,D$的几何意义 3. 能根据参数绘制图像，或根据图像确定函数表达式 4. 熟练掌握三角函数图像的平移、拉伸/压缩变换规律
教学重难点	重点：正弦型函数参数意义、图像与表达式互化难点：相位平移方向判断、多参数复合变换的顺序与逻辑

二、教学流程（120分钟）

1. 导入环节（10分钟）

情境引入：展示声波波形图、心电图曲线、潮汐高度随时间变化图，提问：“这些周期图像和我们上节课学的单位圆三角函数有什么关联？如何用数学表达式精准描述这些图像的振幅、周期和位置？”
知识衔接：回顾上节课周期函数的周期计算、单位圆中$\sin\theta$和$\cos\theta$的取值范围（$[-1,1]$），引出“正弦/余弦函数图像是单位圆三角函数的‘展开’，而正弦型函数是对基础图像的变形，可适配实际场景”。
考纲提示：本课时内容是AP PreCalculus三角函数模块的核心考点，占比10%-12%，直接对接后续三角函数建模、AP微积分中的导数应用等内容，图像与表达式互化是必考题型。

2. 核心知识点讲解（60分钟）

模块1：正弦/余弦函数基础图像与性质（15分钟）

关键术语：正弦函数（Sine Function）、余弦函数（Cosine Function）、对称轴（Axis of Symmetry）、对称中心（Center of Symmetry）

基础图像绘制步骤：
1. 确定定义域（$\mathbb{R}$）、值域（$[-1,1]$）、周期（$2\pi$）；
2. 标注关键零点（与$x$轴交点）、极值点（最高点/最低点）；
3. 按“五点法”描点连线：
  - $y=\sin x$：$(0,0)$、$(\frac{\pi}{2},1)$、$(\pi,0)$、$(\frac{3\pi}{2},-1)$、$(2\pi,0)$；
  - $y=\cos x$：$(0,1)$、$(\frac{\pi}{2},0)$、$(\pi,-1)$、$(\frac{3\pi}{2},0)$、$(2\pi,1)$。
核心性质对比：

函数	周期	值域	奇偶性	对称轴	对称中心	单调性（一个周期内）
$y=\sin x$	$2\pi$	$[-1,1]$	奇函数（$\sin(-x)=-\sin x$）	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）	$(k\pi,0)$（$k\in\mathbb{Z}$）	$[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$递增；$[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$递减
$y=\cos x$	$2\pi$	$[-1,1]$	偶函数（$\cos(-x)=\cos x$）	$x=k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）	$(\frac{\pi}{2}+k\pi,0)$（$k\in\mathbb{Z}$）	$[2k\pi,\pi+2k\pi]$递减；$[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]$递增

例题1：画出$y=\sin x$在$[-\pi,2\pi]$上的图像，并标注对称轴和对称中心
解析：按“五点法”描点，补充$(-\pi,0)$、$(-\frac{\pi}{2},-1)$，对称轴为$x=-\frac{\pi}{2}$、$x=\frac{\pi}{2}$、$x=\frac{3\pi}{2}$，对称中心为$(-\pi,0)$、$(0,0)$、$(\pi,0)$、$(2\pi,0)$。

模块2：正弦型函数参数解析（25分钟）

关键术语：正弦型函数（Sinusoidal Function）、振幅（Amplitude）、相位平移（Phase Shift）、垂直平移（Vertical Shift）

核心表达式：
- 正弦型：$\boldsymbol{y=A\sin\left(B(x-C)\right)+D}$（$A\neq0$，$B>0$）；
- 余弦型：$\boldsymbol{y=A\cos\left(B(x-C)\right)+D}$（$A\neq0$，$B>0$）。
参数几何意义（核心考点）：
1. 振幅$|A|$：图像偏离垂直中线的最大距离，决定“高低”；
  - 公式：$|A|=\frac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}$；
  - 示例：$y=3\sin x$，振幅$3$，值域$[-3,3]$。
2. 周期$T$：由$B$决定，公式$\boldsymbol{T=\frac{2\pi}{B}}$（与上节课周期公式一致，强化记忆）；
  - 示例：$y=\sin(2x)$，$B=2$，周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。
3. 相位平移$C$：水平平移方向，“左加右减”（针对$x$本身）；
  - 规则：$C>0$时，图像向右平移$C$个单位；$C \lt 0$时，向左平移$|C|$个单位；
  - 示例：$y=\sin(x-\frac{\pi}{3})$，$C=\frac{\pi}{3}$，向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位。
4. 垂直平移$D$：图像整体上下平移，决定“中线位置”；
  - 公式：$D=\frac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}$；
  - 示例：$y=\sin x+2$，$D=2$，值域$[1,3]$，中线为$y=2$。
例题2：分析函数$y=2\cos\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)-1$的参数意义，并确定值域和周期
解析：
- $A=2$（振幅2），$B=3$（周期$T=\frac{2\pi}{3}$），$C=-\frac{\pi}{6}$（向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位），$D=-1$（垂直下移1个单位）；
- 值域：$D\pm|A|=-1\pm2$，即$[-3,1]$。

模块3：正弦型函数图像变换规律（20分钟）

关键术语：水平拉伸/压缩（Horizontal Stretch/Compression）、垂直拉伸/压缩（Vertical Stretch/Compression）

核心变换顺序：先处理水平平移（$C$），再处理水平拉伸/压缩（$B$），最后处理垂直拉伸/压缩（$A$）和垂直平移（$D$）（避免平移方向出错）；
分步变换示例：以$y=\sin x$变换到$y=2\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1$为例：
1. 水平平移：$y=\sin x \to y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$（向右平移$\frac{\pi}{4}$）；
2. 水平压缩：$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \to y=\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)$（横坐标压缩为原来的$\frac{1}{3}$，周期变为$\frac{2\pi}{3}$）；
3. 垂直拉伸：$y=\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) \to y=2\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)$（纵坐标拉伸为原来的2倍，振幅变为2）；
4. 垂直平移：$y=2\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) \to y=2\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1$（向上平移1个单位，中线为$y=1$）。
例题3：根据变换规律，画出$y=3\cos\left(2x+\pi\right)-2$的图像（一个周期）
解析：
1. 化简表达式：$y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)-2$（便于识别参数）；
2. 基础图像：$y=\cos x$；
3. 平移：$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$（向左平移$\frac{\pi}{2}$）；
4. 水平压缩：$y=\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)$（周期$T=\pi$）；
5. 垂直拉伸：$y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)$（振幅3）；
6. 垂直平移：$y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)-2$（中线$y=-2$，值域$[-5,1]$）；
7. 五点法描点：$(-\frac{\pi}{2},1)$、$(-\frac{\pi}{4},-2)$、$(0,-5)$、$(\frac{\pi}{4},-2)$、$(\frac{\pi}{2},1)$，连线即可。

3. 真题实战与易错点剖析（30分钟）

近5年真题解析（每题6分钟，含思路梳理+评分点）

1. 2025年真题 Q19（选择题）

题目：The graph of $y=A\sin(B(x-C))+D$ has a maximum value of 7, minimum value of 1, period of $\pi$, and phase shift right $\frac{\pi}{4}$. Which equation matches this description?
A. $y=3\sin(2x-\frac{\pi}{2})+4$
B. $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{2})+4$
C. $y=6\sin(2x-\frac{\pi}{2})+4$
D. $y=6\sin(2x+\frac{\pi}{2})+4$
解析：

考点：正弦型函数参数计算（核心评分点）
步骤：① 求$A$和$D$：$A=\frac{7-1}{2}=3$，$D=\frac{7+1}{2}=4$（排除C、D）；② 求$B$：周期$T=\pi=\frac{2\pi}{B}\implies B=2$；③ 求$C$：右移$\frac{\pi}{4}\implies C=\frac{\pi}{4}$，表达式为$y=3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+4=3\sin(2x-\frac{\pi}{2})+4$；
答案：A（评分点：参数$A/D$计算1分，$B$计算1分，$C$计算1分）

2. 2024年真题 Q22（选择题）

题目：What is the amplitude of the function $y=4\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)-5$?
A. 4
B. 5
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{2\pi}{3}$
解析：

考点：振幅定义（核心评分点）
步骤：① 振幅为$|A|$，与$D$无关；② 题干中$A=4$，故振幅为4；
答案：A（评分点：识别振幅仅与$A$相关得1分）

3. 2023年真题 Q27（解答题）

题目：A sinusoidal function has a period of $4\pi$, passes through the point $(0,3)$, and has a maximum value of 5. Write the equation of the function in the form $y=A\cos(Bx)+D$.
解析：

考点：余弦型函数表达式确定（核心评分点）
步骤：① 求$A$和$D$：$D=\frac{5+\text{最小值}}{2}$，因过$(0,3)$且$\cos0=1$，故$3=A+D$，又$A=5-D$，解得$D=4$，$A=1$；② 求$B$：周期$4\pi=\frac{2\pi}{B}\implies B=\frac{1}{2}$；③ 组合表达式：$y=\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+4$；
答案：$y=\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+4$（评分点：$A/D$计算1分，$B$计算1分，表达式正确1分）

4. 2022年真题 Q17（选择题）

题目：Which transformation changes the graph of $y=\sin x$ to the graph of $y=\sin(2x+\pi)-1$?
A. Horizontal compression by a factor of 2, shift left $\pi$ units, shift down 1 unit
B. Horizontal compression by a factor of 2, shift left $\frac{\pi}{2}$ units, shift down 1 unit
C. Horizontal stretch by a factor of 2, shift left $\pi$ units, shift down 1 unit
D. Horizontal stretch by a factor of 2, shift left $\frac{\pi}{2}$ units, shift down 1 unit
解析：

考点：图像变换顺序与方向（核心评分点）
步骤：① 化简表达式：$y=\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)-1$；② 水平压缩为原来的$\frac{1}{2}$（$B=2$）；③ 向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位（$C=-\frac{\pi}{2}$）；④ 向下平移1个单位（$D=-1$）；
答案：B（评分点：化简表达式1分，平移方向判断1分）

5. 2021年真题 Q31（解答题）

题目：The graph of a sinusoidal function is shown below. (Graph description: period $2\pi$, maximum value 6, minimum value 2, passes through $(\pi,4)$) Find the equation of the function in the form $y=A\sin(Bx+C)+D$.
解析：

考点：结合图像信息求参数（核心评分点）
步骤：① 求$A$和$D$：$A=\frac{6-2}{2}=2$，$D=\frac{6+2}{2}=4$；② 求$B$：周期$2\pi=\frac{2\pi}{B}\implies B=1$；③ 求$C$：过$(\pi,4)$，代入得$4=2\sin(\pi+C)+4\implies\sin(\pi+C)=0\implies\pi+C=k\pi\implies C=0$（取$k=1$）；④ 表达式：$y=2\sin x+4$；
答案：$y=2\sin x+4$（评分点：$A/D$计算1分，$B$计算1分，$C$计算1分）

高频易错点及应对措施

易错点类型	具体错误表现	解决方案
参数混淆错误	1. 混淆$B$与周期的关系（误写$T=2\pi B$） 2. 将振幅等同于“最大值”（忽略$D$的影响）	1. 公式固化：在草稿纸醒目位置写“$T=\frac{2\pi}{B}$”“$\vert A \vert =\frac{\text{max}-\text{min}}{2}$”“$D=\frac{\text{max}+\text{min}}{2}$” 2. 实例对比：$y=2\sin x+3$，最大值5，最小值1，振幅2（非5），强化“振幅是半差值”的认知 3. 单位验证：$B$无单位，周期单位为弧度，若$B=2$，$T=\pi$（合理），若误算为$T=4\pi$（不合理），及时纠错
相位平移方向错误	1. 直接对$y=A\sin(Bx+C)$用“左加右减”（忽略$B$的系数） 2. 误将$C$的符号当平移方向（如$y=\sin(x+\frac{\pi}{3})$误判为右移）	1. 必做步骤：先将表达式化为$y=A\sin\left(B(x-C)\right)+D$的标准形式，再判断平移方向 2. 口诀记忆：“标准形式看$C$，正右负左” 3. 示例强化：$y=\sin(2x+\pi)=\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)$，$C=-\frac{\pi}{2}$，故向左平移$\frac{\pi}{2}$，而非$\pi$
变换顺序错误	先进行水平拉伸/压缩，再进行水平平移（导致平移距离出错）	1. 固定顺序：“先平移，后拉伸”（针对水平方向），垂直方向无顺序要求 2. 对比验证：$y=\sin x\to y=\sin(2x-\frac{\pi}{2})$，正确顺序：先右移$\frac{\pi}{2}$，再压缩为$\frac{1}{2}$；错误顺序：先压缩为$\frac{1}{2}$，再右移$\frac{\pi}{4}$（结果一致，但前者更易理解参数意义） 3. 画图辅助：用“五点法”描点，对比不同顺序的结果，确认正确性
值域计算错误	忽略$D$的影响，误将值域写为$[-\vert A\vert ,\vert A\vert ]$（未加$D$）	1. 值域公式：$\boldsymbol{[D-\vert A\vert ,D+\vert A\vert ]}$，写在参数公式旁 2. 步骤固化：计算值域时，先求$D$（中线），再加减振幅$\vert A\vert $ 3. 实例验证：$y=3\cos x-2$，$D=-2$，$\vert A\vert =3$，值域$[-5,1]$，代入$x=0$（$\cos0=1$）得$1$（最大值），$x=\pi$（$\cos\pi=-1$）得$-5$（最小值），验证正确

4. 课堂小结与公式梳理（10分钟）

核心公式清单（按考点分类）

正弦/余弦基础图像性质：
- 周期：$y=\sin x$、$y=\cos x$的周期均为$2\pi$；
- 值域：均为$[-1,1]$；
- 五点法关键点：见“基础图像绘制步骤”。
正弦型函数参数公式：
- 振幅：$\boldsymbol{|A|=\frac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}}$；
- 周期：$\boldsymbol{T=\frac{2\pi}{B}}$（$B>0$）；
- 垂直中线：$\boldsymbol{D=\frac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}}$；
- 标准形式：$\boldsymbol{y=A\sin\left(B(x-C)\right)+D}$（$y=A\cos\left(B(x-C)\right)+D$）。
图像变换规律：
- 水平平移：$C>0$右移$C$，$C<0$左移$|C|$（标准形式下）；
- 水平拉伸/压缩：$B>1$压缩为原来的$\frac{1}{B}$，$0<B<1$拉伸为原来的$\frac{1}{B}$；
- 垂直拉伸/压缩：$|A|>1$拉伸为原来的$|A|$，$0<<|A|<1$压缩为原来的$|A|$；
- 垂直平移：$D>0$上移$D$，$D<0$下移$|D|$。

学习建议

画图练习：每天花10分钟，任选1个正弦型函数（如$y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+1$），按“参数分析→变换步骤→五点法描点”画图，强化图像与参数的关联；
逆向训练：给出图像（标注最大值、最小值、周期、关键点），反向推导函数表达式，提升双向转化能力；
错题标注：将“参数计算错误”“平移方向错误”的题目单独归类，标注错误原因和正确步骤，定期复盘。

5. 课后作业（分层设计）

基础题（必做）

分析下列函数的参数意义、周期、值域和相位平移方向：
- $y=5\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)-3$
- $y=-2\cos(4x)-1$（提示：$A$为负时，图像关于$x$轴对称）
按变换规律，描述$y=\cos x$到$y=3\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)+2$的变换过程，并画出一个周期的图像。
已知正弦型函数的周期为$\frac{\pi}{2}$，振幅3，垂直下移2个单位，右移$\frac{\pi}{8}$个单位，写出函数表达式（用$\sin$形式）。

提升题（选做，对接AP解答题）

已知函数$y=A\sin(Bx+C)+D$的图像过点$(0,1)$、$(\frac{\pi}{2},4)$、$(\pi,1)$，周期为$\pi$，求$A,B,C,D$的值并写出表达式。
证明：函数$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$与$y=\cos x$的图像完全重合（提示：利用诱导公式和图像性质）。