【A-Level】爱德思P3讲义之Chapter 1-Algebraic Methods（代数方法）

一、学习目标

学完本章后，你应该能够：

• 乘代数分式
• 除代数分式
• 加和减代数分式
• 将假分式转化为部分分式形式

二、知识点精讲

2.1 代数分式的乘法

核心法则： 先约去公因式，然后分子乘分子、分母乘分母。

$$\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$$

💡 关键步骤：

1. 将每个分式的分子和分母因式分解
2. 约去分子与分母中的公因式
3. 将剩余部分相乘

📌 例1： 化简 $\frac{x-4}{6} \times \frac{2x+8}{x^2-16}$

解：

$$\frac{x-4}{6} \times \frac{2x+8}{x^2-16} = \frac{x-4}{6} \times \frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)}$$

约去 $(x-4)$ 和 $(x+4)$：

$$= \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

---

2.2 代数分式的除法

核心法则： 将第一个分式乘以第二个分式的倒数。

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$$

⚠️ 常见错误： 很多同学会忘记”除变乘”后需要翻转第二个分式！

📌 例2： 化简 $\frac{4x^2+12x+9}{x^2+6x} \div \frac{4x^2-9}{2x^2+9x-18}$

解：

先因式分解：

$$\frac{(2x+3)^2}{x(x+6)} \div \frac{(2x-3)(2x+3)}{(2x-3)(x+6)}$$

除变乘，翻转第二个分式：

$$= \frac{(2x+3)^2}{x(x+6)} \times \frac{(2x-3)(x+6)}{(2x-3)(2x+3)}$$

约去 $(2x-3)$、$(x+6)$ 和一个 $(2x+3)$：

$$= \frac{2x+3}{x}$$

---

2.3 代数分式的加减法

核心法则： 找到公分母，将各分式化为同分母后相加减。

💡 找公分母的技巧：

• 先因式分解所有分母
• 公分母 = 各分母中所有不同因式的最高次幂的乘积

📌 例3（Edexcel Jan 03 Q1 改编）： 将 $\frac{6x+1}{x-5} + \frac{5x+3}{x^2-3x-10}$ 化为最简形式的单一分式。

解：

先因式分解第二个分母：

$$x^2-3x-10 = (x-5)(x+2)$$

公分母为 $(x-5)(x+2)$：

$$\frac{6x+1}{x-5} + \frac{5x+3}{(x-5)(x+2)} = \frac{(6x+1)(x+2)}{(x-5)(x+2)} + \frac{5x+3}{(x-5)(x+2)}$$ $$= \frac{(6x+1)(x+2) + (5x+3)}{(x-5)(x+2)} = \frac{6x^2+12x+x+2+5x+3}{(x-5)(x+2)}$$ $$= \frac{6x^2+18x+5}{(x-5)(x+2)}$$

---

2.4 假分式与部分分式

2.4.1 什么是假分式？

当分子的次数 ≥ 分母的次数时，该代数分式为假分式（improper fraction）。

例如：$\frac{x^3-6x^2+11x+2}{x-2}$ 是假分式（分子次数3 > 分母次数1）。

⚠️ 注意： 假分式必须先转化为带分式（mixed fraction），才能继续化为部分分式。

2.4.2 假分式转带分式的方法

方法一：代数长除法（Algebraic Long Division）

方法二：利用恒等式关系

$$F(x) = Q(x) \times \text{除数} + \text{余数}$$

📌 例4： 将 $\frac{x^3-6x^2+11x+2}{x-2}$ 转化为 $Ax^2+Bx+C+\frac{D}{x-2}$ 的形式。

解：

用代数长除法：

$$\begin{array}{r|rrrr} & x^2 & -4x & +3 & \\ \hline x-2 & x^3 & -6x^2 & +11x & +2 \\ & x^3 & -2x^2 & & \\ \hline & & -4x^2 & +11x & \\ & & -4x^2 & +8x & \\ \hline & & & 3x & +2 \\ & & & 3x & -6 \\ \hline & & & & 8 \end{array}$$

因此：

$$\frac{x^3-6x^2+11x+2}{x-2} = x^2 - 4x + 3 + \frac{8}{x-2}$$

所以 $A=1, B=-4, C=3, D=8$。

2.4.3 待定系数法求部分分式

📌 例5（Edexcel June 03 Q8 改编）： 将 $\frac{4x^3-6x^2+8x-5}{2x+1}$ 表示为 $Ax^2+Bx+C+\frac{D}{2x+1}$ 的形式。

解：

设：

$$\frac{4x^3-6x^2+8x-5}{2x+1} = Ax^2+Bx+C+\frac{D}{2x+1}$$

两边同乘 $(2x+1)$：

$$4x^3-6x^2+8x-5 = (Ax^2+Bx+C)(2x+1)+D$$

展开右边：

$$= 2Ax^3 + Ax^2 + 2Bx^2 + Bx + 2Cx + C + D$$ $$= 2Ax^3 + (A+2B)x^2 + (B+2C)x + (C+D)$$

比较系数：

次数	左边	右边	方程
$x^3$	4	$2A$	$2A=4 \Rightarrow A=2$
$x^2$	-6	$A+2B$	$2+2B=-6 \Rightarrow B=-4$
$x$	8	$B+2C$	$-4+2C=8 \Rightarrow C=6$
常数	-5	$C+D$	$6+D=-5 \Rightarrow D=-11$

所以：

$$\frac{4x^3-6x^2+8x-5}{2x+1} = 2x^2-4x+6-\frac{11}{2x+1}$$

---

三、课堂练习

1. 化简 $\frac{2x^3+3x+5}{x+1}$

2. 化简 $\frac{x^2-3x-10}{3x^2-21} \times \frac{6x^2+24}{x^2+6x+8}$

3. 已知恒等式 $x^3-6x^2+11x+2 \equiv (x-2)(Ax^2+Bx+C)+D$，求 $A,B,C,D$ 的值。

---

四、课后作业（选自章节测试）

1. 化简 $\frac{3x^4-21x}{3x}$

2. 化简 $\frac{x^2-2x-24}{x^2-7x+6}$

3. 化简 $\frac{2x^2+7x-4}{2x^2+9x+4}$

4. 用 $(x+4)$ 除 $3x^3+12x^2+5x+20$

5. 化简 $\frac{4x^2-8x}{x^2-3x-4} \times \frac{x^2+6x+5}{2x^2+10x}$

6. 将 $\frac{6x+1}{x-5}+\frac{5x+3}{x^2-3x-10}$ 化为最简形式的单一分式

7. 求证 $\frac{4x^3-6x^2+8x-5}{2x+1}$ 可化为 $Ax^2+Bx+C+\frac{D}{2x+1}$ 的形式，求 $A,B,C,D$

8. 求证 $\frac{x^4+2}{x^2-1} \equiv Ax^2+Bx+C+\frac{D}{x^2-1}$，求 $A,B,C,D$

9. 若 $f(x)=x+\frac{3}{x-1}-\frac{12}{x^2+2x-3}$，$x \in \mathbb{R}, x>1$，求证 $f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+3}$

10. 化简 $\frac{x-4}{6} \times \frac{2x+8}{x^2-16}$