一、学习目标
学完本章后，你应该能够：
- 掌握加法公式（compound‑angle formulae） 及其推导
- 运用加法公式化简表达式、证明恒等式
- 掌握二倍角公式（double‑angle formulae） 并灵活变形
- 将 $a\sin x \pm b\cos x$ 转化为 $R\sin(x\pm\alpha)$ 或 $R\cos(x\mp\alpha)$ 的形式
- 利用上述技巧解三角方程、求最值及绘制变换后的图像
二、知识点精讲
2.1 加法公式（Compound‑Angle Formulae）
对于任意角 $A$、$B$，有：
💡 记忆技巧：
- 正弦：正余 + 余正（符号同原）
- 余弦：余余 − 正正（符号与 sin 相反）
- 正切：分子相加/减，分母相应变号。
📌 例1（直接应用）： 不用计算器求值
a. $\sin 40^\circ \cos 10^\circ - \cos 40^\circ \sin 10^\circ$
b. $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 15^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 15^\circ$
解：
a. 由 $\sin(A-B)=\sin A\cos B - \cos A\sin B$，令 $A=40^\circ, B=10^\circ$，得原式 $= \sin(40^\circ-10^\circ)=\sin30^\circ = \frac{1}{2}$。
b. $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos45^\circ = \sin45^\circ$，原式 $= \cos45^\circ\cos15^\circ - \sin45^\circ\sin15^\circ = \cos(45^\circ+15^\circ)=\cos60^\circ = \frac{1}{2}$。
2.2 二倍角公式（Double‑Angle Formulae）
由加法公式令 $B=A$ 得到：
⚠️ 重要变形： $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ 常用于降幂，$\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ 也常用于化简。
📌 例2（二倍角与恒等式证明）：
a. 证明 $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \equiv \tan^2 x$。
b. 由此解方程 $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}=3$，在 $-\pi \leq x \leq \pi$ 内。
解：
a. 由 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$，得 $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$；
由 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，得 $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$。
故左边 $= \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = \tan^2 x$，得证。
b. 由 a 得 $\tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm\sqrt{3}$。
在 $[-\pi, \pi]$ 内，$\tan x = \sqrt{3}$ 给出 $x = \frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$；
$\tan x = -\sqrt{3}$ 给出 $x = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$。
所以解集为。
2.3 和差化积与积化和差（辅助公式）
虽然考纲未明确列出积化和差，但通过加法公式可推导出一些常用恒等式，例如：
📌 例3（证明恒等式）： 证明 $\sin(x+y)\sin(x-y) \equiv \cos^2 y - \cos^2 x$。
证明：
左边 = $(\sin x\cos y + \cos x\sin y)(\sin x\cos y - \cos x\sin y)$
= $\sin^2 x\cos^2 y - \cos^2 x\sin^2 y$
= $\sin^2 x(1-\sin^2 y) - (1-\sin^2 x)\sin^2 y$
= $\sin^2 x - \sin^2 x\sin^2 y - \sin^2 y + \sin^2 x\sin^2 y$
= $\sin^2 x - \sin^2 y$
= $(1-\cos^2 x) - (1-\cos^2 y) = \cos^2 y - \cos^2 x$，得证。
2.4 $a\sin x \pm b\cos x$ 转化为 $R\sin(x\pm\alpha)$ 或 $R\cos(x\mp\alpha)$
对于正数 $a, b$，可写作：
或者
也可用余弦形式：
💡 关键： $R$ 总是正数，$\alpha$ 取锐角（若 $a,b>0$）或根据符号调整象限。
📌 例4（R‑formula 应用）：
a. 将 $\sin x - \sqrt{3}\cos x$ 化为 $R\sin(x-\alpha)$ 的形式（$R>0, 0^\circ<\alpha<90^\circ$）。
b. 由此画出 $y=\sin x - \sqrt{3}\cos x$ 在 $-360^\circ \leq x \leq 360^\circ$ 的图像，标出与坐标轴的交点。
解：
a. 比较 $R\sin(x-\alpha) = R(\sin x\cos\alpha - \cos x\sin\alpha) = (R\cos\alpha)\sin x - (R\sin\alpha)\cos x$。
令 $R\cos\alpha = 1,\; R\sin\alpha = \sqrt{3}$，则 $R = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，$\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \Rightarrow \alpha=60^\circ$。
故 $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\sin(x-60^\circ)$。
b. 图像为振幅 2、周期 $360^\circ$ 的正弦曲线，向右平移 $60^\circ$。
与 x 轴交点：令 $2\sin(x-60^\circ)=0 \Rightarrow x-60^\circ = k\cdot180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ + 180k$，在给定区间内：$-300^\circ, -120^\circ, 60^\circ, 240^\circ$。
与 y 轴交点：$x=0$ 时，$y=\sin0 - \sqrt{3}\cos0 = -\sqrt{3}$，即 $(0,-\sqrt{3})$。
2.5 利用 R‑formula 求最值
因为 $-1 \leq \sin(x\pm\alpha) \leq 1$，所以 $a\sin x \pm b\cos x$ 的最大值为 $R$，最小值为 $-R$。
📌 例5（综合应用）：
已知 $7\cos 2\theta + 24\sin 2\theta \equiv R\cos(2\theta-\alpha)$，其中 $R>0,\;0<\alpha<\frac{\pi}{2}$。
a. 求 $R$ 和 $\alpha$（保留两位小数）。
b. 求 $14\cos^2\theta + 48\sin\theta\cos\theta$ 的最大值。
c. 解方程 $7\cos 2\theta + 24\sin 2\theta = 12.5$，$0\leq\theta\leq\pi$。
解：
a. 比较 $R\cos(2\theta-\alpha) = R(\cos2\theta\cos\alpha + \sin2\theta\sin\alpha)$，得
$R\cos\alpha = 7,\; R\sin\alpha = 24$。
所以 $R = \sqrt{7^2+24^2} = \sqrt{625}=25$，$\tan\alpha = \frac{24}{7} \Rightarrow \alpha = \arctan(24/7) \approx 1.287$ rad（约 $73.74^\circ$）。
b. 注意 $14\cos^2\theta + 48\sin\theta\cos\theta = 7(2\cos^2\theta) + 24(2\sin\theta\cos\theta) = 7(1+\cos2\theta) + 24\sin2\theta$
= $7 + 7\cos2\theta + 24\sin2\theta = 7 + (7\cos2\theta+24\sin2\theta)$。
由 a 得该括号最大值为 25，所以整体最大值为 $7+25=32$。
c. 由 a，原方程变为 $25\cos(2\theta-\alpha) = 12.5 \Rightarrow \cos(2\theta-\alpha) = \frac{1}{2}$。
所以 $2\theta-\alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$。
即 $2\theta = \alpha \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{\alpha}{2} \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$。
$\alpha \approx 1.287$，$\alpha/2 \approx 0.6435$。
取 $k=0,1$ 并限制 $0\leq\theta\leq\pi$：
- 正号：$\theta = 0.6435 + \frac{\pi}{6} \approx 0.6435+0.5236=1.1671$
- 负号：$\theta = 0.6435 - \frac{\pi}{6} \approx 0.1199$
- 加上 $k=1$：正号 $\theta = 1.1671+\pi \approx 4.3087 > \pi$ 舍去；负号 $\theta = 0.1199+\pi \approx 3.2615$（也在范围内）。
所以解为 $\theta \approx 0.12,\;1.17,\;3.26$（rad）。
三、课堂练习（含思路提示）
已知 $\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}$（$x$ 为锐角），且 $\cos(x-y)=\sin y$，证明 $\tan y = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
提示：展开 $\cos(x-y)$，利用 $\sin y$ 移项，化简为关于 $\tan y$ 的方程。已知 $\tan A = \frac{3}{4}$，$\tan B = \frac{5}{12}$，求 $\sin(A+B)$ 和 $\tan 2B$ 的精确值。
将 $1.5\sin 2x + 2\cos 2x$ 化为 $R\sin(2x+\alpha)$ 的形式（$R>0, 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$），并由此求 $3\sin x\cos x + 4\cos^2 x$ 的最大值。
解方程 $\cos 2\theta = 5\sin\theta$，在 $-\pi \leq \theta \leq \pi$ 内。
已知 $4\sin(x+70^\circ)=\cos(x+20^\circ)$，证明 $\tan x = -\frac{3}{5}\tan 70^\circ$，并据此解方程 $0^\circ\leq x\leq180^\circ$。
四、课后作业（从章节复习中精选 10 题）
（基础求值） 不用计算器求：
a. $\sin 40^\circ\cos 10^\circ - \cos 40^\circ\sin 10^\circ$
b. $\frac{1-\tan 15^\circ}{1+\tan 15^\circ}$
（考查加法公式的正用）（几何应用） 直线 $l_1:y=2x$ 和 $l_2:3y=x-1$ 与 x 轴正方向夹角分别为 $A$、$B$。
a. 求 $\tan A$ 和 $\tan B$
b. 不用计算器，求两直线的锐角夹角。（恒等式证明） 证明：$\sin(x+y)\sin(x-y) \equiv \cos^2 y - \cos^2 x$。
（二倍角+解方程） 证明 $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \equiv \tan^2 x$，并解 $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}=3$，在 $-\pi \leq x \leq \pi$ 内。
（R‑formula 应用） 将 $\sin x - \sqrt{3}\cos x$ 化为 $R\sin(x-\alpha)$，并画出其图像（略做草图）。
（解含复合角方程） 已知 $2\sin x = \cos(x-60^\circ)$，
a. 证明 $\tan x = \frac{1}{4-\sqrt{3}}$
b. 解方程 $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$（精确到 1 位小数）。（R‑formula 最值） 已知 $7\cos 2\theta + 24\sin 2\theta = R\cos(2\theta-\alpha)$，求 $R$、$\alpha$，并求 $14\cos^2\theta + 48\sin\theta\cos\theta$ 的最大值。
（解方程） 解 $\cos 2\theta = 5\sin\theta$，在 $-\pi \leq \theta \leq \pi$ 内。
（证明与解方程） 已知 $\sqrt{3}\sin 2\theta + 2\sin^2\theta = 1$，
a. 证明 $\tan 2\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
b. 解方程 $0 \leq \theta \leq \pi$。（恒等式与求值） 已知 $\sin x\cos y = \frac{1}{2}$ 且 $\cos x\sin y = \frac{1}{3}$，
a. 证明 $\sin(x+y) = 5\sin(x-y)$
b. 若 $\tan y = k$，用 $k$ 表示 $\tan x$ 和 $\tan 2x$。
📝 教师备注：
- 本章公式多，要求学生反复默写并注意符号差异。
- R‑formula 是重点，考试常结合最值和方程综合考查，务必熟练。
- 课后作业第 4、6、7、8、10 题均来自历年真题风格，建议限时 50 分钟完成。
